KAREKÖKLÜ İFADELER

Kareköklü ifadeler, bir sayının karesini alma işleminin tersini gösteren matematiksel ifadelerdir. Bir sayının karesi alınarak elde edilen değerden, başlangıçtaki sayıyı bulmamızı sağlarlar. Matematikte genellikle (karekök) sembolüyle gösterilir. Cebir ve matematik tarihinde önemli bir yere sahip olan bu sembol, zamanla matematiksel ifadelerin vazgeçilmez bir parçası haline gelmiştir.

Günümüzde kullandığımız karekök sembolünün ilk örneği, 1525 yılında Alman matematikçi Christoph Rudolff tarafından yazılan ve Almanca basılan ilk cebir kitaplarından biri olan Die Coss adlı eserde görülmüştür. Rudolff, Latince'de "kök" anlamına gelen radix kelimesinin küçük el yazısıyla yazılan r harfinden esinlenerek yeni bir sembol kullanmıştır. Bu sembol, günümüzdeki karekök işaretinin ilk adımı olarak kabul edilir.

Ancak Rudolff'un kullandığı sembol bugünkü görünümünden biraz farklıydı. O dönemde sembolün üzerinde bulunan yatay çizgi henüz yoktu. İşaret yalnızca sayının önünde yer alıyordu. Kök içine alınan ifadeler uzadıkça hangi sayıların kök içerisinde olduğu konusunda karışıklıklar ortaya çıkmaya başlamıştı.

Bu sorunun çözümü ise Fransız matematikçi ve filozof René Descartes tarafından geliştirildi. Descartes, 1637 yılında yayımlanan ünlü eseri La Géométrie'de Rudolff'un kullandığı kök işaretinin üst kısmını uzatarak günümüzde kullandığımız yatay çizgiyi ekledi. Böylece kök içerisinde bulunan sayıların veya ifadelerin daha açık ve düzenli gösterilmesi sağlandı.

Bugün kareköklü ifadeler; mühendislikten fiziğe, mimarlıktan bilgisayar bilimlerine kadar birçok alanda kullanılmaktadır. Bu nedenle kareköklü ifadeleri öğrenmek, yalnızca matematik derslerinde değil, günlük yaşamda karşılaşabileceğimiz birçok problemin çözümünde de bize yardımcı olur.

1. Tam Kare Doğal Sayıları Tanıma

Kareköklü ifadeleri öğrenmenin ilk adımı, tam kare doğal sayıları tanımaktır. Çünkü karekök alma işlemlerinin büyük bir kısmı bu sayılar üzerine kuruludur.

Bir doğal sayının karesi şeklinde yazılabilen sayılara tam kare doğal sayı denir. Başka bir deyişle, bir sayıyı kendisiyle çarptığımızda elde ettiğimiz sonuç tam kare doğal sayıdır.

Örneğin:

1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81
10² = 100

Bu sayıların tamamı bir doğal sayının karesi şeklinde yazılabildiği için tam kare doğal sayıdır.

Tam kare sayıların en önemli özelliği, karekök içine alındıklarında kökten tamamen kurtulmalarıdır. Çünkü bu sayıların hangi sayının karesi olduğunu biliyoruz.

2. Tam Kare Doğal Sayılar ile Karekökleri Arasındaki İlişki

Bir tam kare doğal sayının karekökü, o sayının karekök içinde gösterildiğinde çıkacak olan sayıdır yani karekök alma işlemi, karesini alma işleminin tersidir.

Başka bir ifadeyle, bir sayıyı kendisiyle çarptığımızda elde ettiğimiz sonucun karekökünü alırsak, başlangıçtaki sayıya geri döneriz.

Örneğin:

4 sayısı tam karedir çünkü 2×2=4 olduğundan =2'dir.
9 sayısı tam karedir çünkü 3×3=9 olduğundan =3'tür.
16 sayısı tam karedir çünkü 4×4=16 olduğundan =4 olur.

Bu ilişkiyi genelleştirirsek:

Bir tam kare sayı n² şeklinde ifade edilebilir. Bu durumda olur. Tam kare olmayan bir sayının karekökü ise genellikle irrasyonel bir sayı çıkar. Örneğin, , rasyonel sayı değildir.

Başka örnekler:

3. Tam Kare Olmayan Sayıların Karekök Değerlerini Belirleme

Tam kare olmayan sayıların karekökleri tam sayı değildir, ancak hangi iki tam sayı arasında olduğunu belirleyebiliriz. Tam kare olmayan sayıların karekökünü tahmin etmeyi bir örnek üzerinden açıklayalım. Diyelim ki 50’nin karekökünü tahmin etmek istiyoruz. Hangi tam kare sayılar 50’ye yakın?

49 (çünkü 7 × 7 = 49)
64 (çünkü 8 × 8 = 64)

Şimdi biliyoruz ki 50, 49 ile 64 arasında bir yerde. Bu iki sayının karekökleri: ve Yani kesinlikle 7 ile 8 arasında bir sayı! Daha hassas tahmin yaparsak 50 sayısı, 49’a mı yoksa 64’e mi daha yakın? 50, 49’dan sadece 1 fazla. Diğer taraftan 50, 64’ten tam 14 eksik.

Yani 50, 49’a daha yakın. O yüzden √50, 7’ye daha yakın bir değer olacak. Eğer 50 tam ortada olsaydı, √50 yaklaşık 7,5 olurdu. Ama 49’a daha yakın olduğu için biraz daha küçük bir değer olmalı.

Sonuç: ≈ 7,1 veya 7,2 diyebiliriz. Gerçek değere bakalım: ≈ 7,07 Tahminimiz oldukça yakın çıktı! Bunu günlük hayatta nasıl kullanabilirsin? Eğer bir hesap makinen yoksa ama yaklaşık bir değer bulman gerekiyorsa, bu yöntem işini kolaylaştırır!

Örnekler:

4. Gerçek Sayıları Tanıma, Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar ile İlişkilendirme

Sayıların tarihçesini incelersek her şey 1 ile başladı. Ardından, 0'ı da ekleyerek sonsuz bir şekilde uzanan doğal sayıları oluşturduk. Ancak bu yeterli olmadı; sıfırın öncesini yani negatif tam sayıları da dahil ederek tam sayıları geliştirdik. İhtiyacımız tam karşılanmadı; buçuklu, çeyrek ve üçte iki gibi sayıları ekleyerek rasyonel sayıları oluşturduk. Bir gün, tüm sayıların a/b biçiminde, yani rasyonel sayılar olarak ifade edilemeyeceğini keşfettik ve bu sayılara irrasyonel sayılar adını verdik. Rasyonel ve irrasyonel sayıları birleştirerek gerçek sayıları ortaya çıkardık.

Gerçek Sayılar (ℝ): Rasyonel (kesirli ve tam sayılar) ile irrasyonel (kesirsiz ve sonsuz ondalıklı) sayılardan oluşur. Gerçek sayılar kümesindeki her sayı, ya rasyoneldir ya da irrasyoneldir; her iki durumu aynı anda barındıramaz. Rasyonel olmayan gerçek sayılara irrasyonel, irrasyonel olmayan gerçek sayılara ise rasyonel denir.

Rasyonel Sayılar (ℚ): Kesirli veya tam olarak ifade edilebilen sayılar.
Örnekler: 1/2, 3.5, -7, 4
İrrasyonel Sayılar (ℚ’): Kesir olarak yazılamayan, ondalık açılımı sonsuz ve devretmeyen sayılar. Bir irrasyonel sayı ondalık biçime çevrildiğinde, ondalık kısmında kendini tekrarlamayan sonsuz sayıda basamak bulunur.
Örnekler: , , π (pi), e (Euler sayısı)

Tam kare olmayan tam sayıların karekökleri irrasyonel sayılar olarak kabul edilir. Tam kare sayılar, bir tam sayının kendisiyle çarpılması sonucunda elde edilen sayılardır. Örneğin, 1, 4, 9, 16 gibi sayılar tam karelerdir çünkü bunlar sırasıyla 1², 2², 3² ve 4² ile elde edilir. Ancak 2 ve 3 gibi tam kare olmayan sayılar için durum farklıdır. Bu sayıların karekökleri, ondalık kesir biçiminde sonsuz ve tekrarsız bir dizi oluşturur; bu da onların irrasyonel olduğunu gösterir.

Örneğin, 'nin değeri yaklaşık olarak 1.41421356237... şeklindedir ve bu sayı kesirli bir biçimde tam olarak ifade edilemez. Benzer şekilde, de yaklaşık olarak 1.73205080757... şeklindedir. Bu irrasyonel sayılar matematikte önemli bir yere sahiptir ve birçok hesaplama ve teorik çalışma için temel oluşturur, sayılar teorisi ve analitik geometri gibi alanlarda derinlemesine incelenir.

Dairenin çevresini çapına bölüyoruz ve pat! Karşınızda en havalı irrasyonel sayı: π!

Çoğu kişi π'yi 3,14 veya 22/7 olarak tanısa da, bu gizemli dostumuz bu sayılardan farklıdır.

π'nin tam olarak ne olduğunu çözmek isteyenler, 4000 yıldır bu sayının peşinden koşuyorlar. Macera devam ediyor!

5. Kareköklü Bir İfadeyi Şeklinde Yazma ve Katsayıyı Kök İçine Alma

Kareköklü ifadelerle işlem yaparken sıkça kullandığımız yöntemlerden biri, kök içerisindeki sayıyı sadeleştirerek kök dışına çıkarmaktır. Bu işlem sayesinde kareköklü ifadeler daha basit ve kullanışlı bir hale gelir.

Bir kareköklü ifadeyi sadeleştirmek, yani karekök içindeki bir sayıyı şeklinde yazmak için kök içindeki sayı çarpanlarına ayrılır. Daha sonra tam kare olan çarpanları belirler ve bunların karekökünü alarak kök dışına çıkarırız.

Örnekler:

Tam tersi işlem de yapılabilir: biçimindeki bir ifadede katsayıyı karekök içine alırken önce katsayının karesi alınır. Daha sonra bu sayı, karekök içinde bulunan sayıyla çarpılarak kök

içinde yazılır.

Örnekler:

6. Kareköklü Bir İfade ile Çarpıldığında Sonucu Doğal Sayı Yapan Çarpanlar

Kareköklü ifadelerle çalışırken bazen kökün tamamen ortadan kalkmasını isteriz. Bunun için kareköklü ifadeyi uygun bir sayı veya ifadeyle çarparız. Böylece kökün içindeki sayı tam kare hale gelir ve karekökten kurtulabiliriz.

Bir kareköklü ifadeyi, uygun bir çarpan ile çarparak tam kare haline getirebiliriz. Kareköklü bir sayının eşleniği, çarpıldığında sonucu tam sayı yapan en küçük sayıdır.

Kesirlerde paydayı rasyonelleştirmek için payda eşleniğiyle çarpılır.
Tek terimli köklü ifadelerin eşleniği kendi köküyle aynıdır.
İki terimli köklü ifadelerde eşlenik, ortadaki işaret ters çevirilerek alınır.

Örnekler:

ile çarpıldığında doğal sayı yapan ifade:

√5 ile çarpıldığında doğal sayı yapan ifade:

Kesrin paydasını tam sayı yapmak için

ifadesinde eşlenik, işareti ters çevrilmiş hali olan

7. Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme İşlemleri

Çarpma İşlemi:

Kareköklü sayılar çarpılırken kök içleri çarpılır: Kareköklü iki sayının çarpma işleminde

çarpımı bulmak için kat sayılar birbirleriyle çarpılarak kat sayıya, kök içindeki sayılar da aynı kök içinde birbirleriyle çarpılarak kök içine yazılır. Kolay Hatırlama Yolu: Kareköklü sayılarla çarpma yaparken:

Dışarıdakiler dışarıdakilerle çarpılır.

İçeridekiler içeridekilerle çarpılır.

✔

Bölme İşlemi:

Kareköklü iki sayı bölünürken sayıların bölümü ortak kök içine yazılabildiği gibi (payda sıfırdan farklı olmak üzere) aynı kök içinde bulunan bir kesrin pay ve paydası ayrı ayrı kökler şeklinde de yazılabilir. Kolay Şifre: Kareköklü sayılarla bölme işlemi yaparken:

"Dışarı dışarıya bölünür, içerisi içerisine bölünür."

✔

Örnekler:

8. Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Aynı köklü ifadeler toplanır ve çıkarılır, katsayılar işlem görür. Çünkü Kareköklü sayılar, meyve kasaları gibidir.

3√5 = 3 kasa elma

2√5 = 2 kasa elma

İkisi de aynı tür olduğu için toplanabilir. Kural: Kök içleri aynıysa sadece katsayılar toplanır veya çıkarılır. Sonra işlem sonucu, ortak kareköke katsayı olarak yazılır.

Örnekler:

Farklı köklü ifadeler toplanamaz!

Kareköklü sayıları farklı takım formaları gibi düşünün. √12 ve √3 ilk bakışta farklı görünür.

Ama √12'nin formasını çıkarınca: 12=2√3 olur ve ikisi de artık √3 takımıdır. O zaman rahatça toplanabilirler.

Kök içleri farklıysa işlem yapılamaz.

= aynı kalır
= aynı kalır

örneğindeki gibi kök içleri sadeleştirilebilirse toplama yapılır.

9. Kareköklü Sayılarda Sıralama

Kareköklü sayılarda sıralama yaparken, tüm sayılar karekök içine alınır veya kök dereceleri eşitlenerek karşılaştırılır. Kök dışındaki sayılar karesi alınarak kök içine alındıktan sonra, kök içi büyük olan sayı daha büyük kabul edilir.

Örnekler:

çünkü 0.5 × 0.5 = 0.25
çünkü 1.2 × 1.2 = 1.44
çünkü 1.7 × 1.7 = 2.89

Tam kare olmayan ondalık sayılar yaklaşık olarak hesaplanır:

≈ 1.732
≈ 2.645

Negatif Sayılarda Dikkat!

Eğer başında eksi varsa:

−√20 ve −√18

Burada büyük olan daha “küçük” görünür!

−√20 < −√18

Çünkü:

-5, -4’ten küçüktür