KAREKÖKLÜ İFADELER

Kareköklü ifadeler, bir sayının karesi alınarak elde edilen sayının ters işlemiyle ifade edilir. Matematikte genellikle (kareköklü) sembolüyle gösterilir. Cebir ve matematik tarihinde önemli bir yere sahip olan bu sembol, zamanla matematiksel ifadelerin vazgeçilmez bir parçası haline gelmiştir. Cebir biliminin kurucusu olarak kabul edilen Arap matematikçi El

Cabir Bin Hayyam, denklemleri çözerken karekök ve küp kök almayı da göstermiştir. İlk olarak 16. yüzyılda kullanılmaya başlanan karekök sembolü, Latincede kök demek olan “Radix”

kelimesinin baş harfi olan “r” den geldiği düşünülmektedir.

1. Tam Kare Doğal Sayıları Tanıma

Tam kare doğal sayılar, bir doğal sayının karesi olan sayılardır.

1² = 1, 2² = 43 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81, 10² = 100 sayıları bir sayının karesi şeklinde yazılabildiklerinden tam kare doğal sayılardır, dolayısıyla karekök içine alınırsa, kökten kurtulup tam sayıya dönüşebilirler.

Başka örnekler:

2. Tam Kare Doğal Sayılar ile Karekökleri Arasındaki İlişki

Bir tam kare doğal sayının karekökü, o sayının karekök içinde gösterildiğinde çıkacak olan sayıdır.

Bir tam kare doğal sayının karekökü, o sayının tam ve pozitif bir sayı olarak karşımıza çıkmasını sağlar. Örneğin:

4 sayısı tam karedir çünkü 2×2=4 2² = 4 2×2=4 olduğundan =2'dir.
9 sayısı tam karedir çünkü 3×3=9 3³ = 9 3×3=9 olduğundan =3'tür.
16 sayısı tam karedir çünkü 4×4=16 4⁴ = 16 4×4=16 olduğundan =4 olur.

Bu ilişkiyi genelleştirirsek:

Bir tam kare sayı n² şeklinde ifade edilebilir. Bu durumda olur. Tam kare olmayan bir sayının karekökü ise genellikle irrasyonel bir sayı çıkar. Örneğin, , tam sayı değildir.

Başka örnekler:

3. Tam Kare Olmayan Sayıların Karekök Değerlerini Belirleme

Tam kare olmayan sayıların karekökleri tam sayı değildir, ancak hangi iki tam sayı arasında olduğunu belirleyebiliriz. Tam kare olmayan sayıların karekökünü tahmin etmeyi bir örnek üzerinden açıklayalım. Diyelim ki 50’nin karekökünü tahmin etmek istiyoruz. Hangi tam kare sayılar 50’ye yakın?

49 (çünkü 7 × 7 = 49)
64 (çünkü 8 × 8 = 64)

Şimdi biliyoruz ki 50, 49 ile 64 arasında bir yerde. Bu iki sayının karekökleri: √49 = 7 ve √64 = 8

Yani √50 kesinlikle 7 ile 8 arasında bir sayı! Daha hassas tahmin yap 50 sayısı, 49’a mı yoksa 64’e mi daha yakın? 50, 49’dan sadece 1 fazla diğer taraftan 50, 64’ten tam 14 eksik

Yani 50, 49’a daha yakın. O yüzden √50, 7’ye daha yakın bir değer olacak. Eğer 50 tam ortada olsaydı, √50 yaklaşık 7,5 olurdu. Ama 49’a daha yakın olduğu için biraz daha küçük bir değer olmalı.

Sonuç: √50 ≈ 7,1 veya 7,2 diyebiliriz. Gerçek değere bakalım: √50 ≈ 7,07 Tahminimiz oldukça yakın çıktı! Bunu günlük hayatta nasıl kullanabilirsin? Eğer bir hesap makinen yoksa ama yaklaşık bir değer bulman gerekiyorsa, bu yöntem işini kolaylaştırır!

4. Gerçek Sayıları Tanıma, Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar ile İlişkilendirme

Sayıların tarihçesini incelersek her şey 1 ile başladı. Ardından, 0'ı da ekleyerek sonsuz bir şekilde uzanan doğal sayıları oluşturduk. Ancak bu yeterli olmadı; sıfırın öncesini ve negatif tam sayıları da dahil ederek tam sayıları geliştirdik. İhtiyacımız tam karşılanmadı; buçuklu, çeyrek ve üçte iki gibi sayıları ekleyerek rasyonel sayıları oluşturduk. Bir gün, tüm sayıların a/b biçiminde, yani rasyonel sayılar olarak ifade edilemeyeceğini keşfettik ve bu sayılara irrasyonel sayılar adını verdik. Rasyonel ve irrasyonel sayıları birleştirerek gerçek sayıları ortaya çıkardık.

Gerçek Sayılar (ℝ): Rasyonel (kesirli, tam sayılar) ve irrasyonel (kesirsiz, sonsuz ondalık sayılar) sayılardan oluşur. Gerçek sayılar kümesindeki her sayı ya rasyoneldir ya da irrasyoneldir; her iki durumu aynı anda barındıramaz. Rasyonel olmayan gerçek sayılara irrasyonel, irrasyonel olmayan gerçek sayılara ise rasyonel denir.

Rasyonel Sayılar (ℚ): Kesirli veya tam olarak ifade edilebilen sayılar.
Örnekler: 1/2, 3.5, -7, 4
İrrasyonel Sayılar (ℚ’): Kesir olarak yazılamayan, ondalık açılımı sonsuz ve devretmeyen sayılar. Bir irrasyonel sayı ondalık biçime çevrildiğinde, ondalık kısmında kendini tekrarlamayan sonsuz sayıda basamak bulunur.
Örnekler: √2, √3, π (pi), e (Euler sayısı)

Tam kare olmayan tam sayıların karekökleri irrasyonel sayılar olarak kabul edilir. Tam kare sayılar, bir tam sayının kendisiyle çarpılması sonucunda elde edilen sayılardır. Örneğin, 1, 4, 9, 16 gibi sayılar tam karelerdir çünkü bunlar sırasıyla 1², 2², 3² ve 4² ile elde edilir. Ancak 2 ve 3 gibi tam kare olmayan sayılar için durum farklıdır. Bu sayıların karekökleri, ondalık kesir biçiminde sonsuz ve tekrarsız bir dizi oluşturur; bu da onların irrasyonel olduğunu gösterir.

Örneğin, √2'nin değeri yaklaşık olarak 1.41421356237... şeklindedir ve bu sayı kesirli bir biçimde tam olarak ifade edilemez. Benzer şekilde, √3 de yaklaşık olarak 1.73205080757... şeklindedir. Bu irrasyonel sayılar matematikte önemli bir yere sahiptir ve birçok hesaplama ve teorik çalışma için temel oluşturur, sayılar teorisi ve analitik geometri gibi alanlarda derinlemesine incelenir.

En önemli irrasyonel sayı olan π sayısı, bir dairenin çevresinin çapına bölünmesiyle elde edilen değerdir. Çoğu insan π'yi 3,14 veya 22/7 olarak bilse de, π'nin gerçek değeri bu iki sayıdan farklıdır. π'nin tam olarak ne olduğu sorusu, bu sayıyı kesin olarak hesaplamak isteyenleri 4000 yıldır meşgul etmektedir.

5. Kareköklü Bir İfadeyi a√b Şeklinde Yazma ve Katsayıyı Kök İçine Alma

Karekök içindeki bir sayıyı biçimde yazmak için kök içindeki sayı çarpanlarına ayrılır. Tam kare olan çarpanlar, karekökü alınarak kök dışına çıkarılır ve kök içinde kalan sayıyla çarpım şeklinde yazılır.

Örnekler:

√50 = √(25×2) = 5√2
√72 = √(36×2) = 6√2

Tam tersi işlem de yapılabilir: biçimdeki bir ifadede katsayıyı karekök içine alırken önce katsayının karesi alınır. Daha sonra bu sayı, karekök içinde bulunan sayıyla çarpılarak kök

içine alınır.

Örnekler:

4√3 = √(16×3) = √48
3√5 = √(9×5) = √45

6. Kareköklü Bir İfade ile Çarpıldığında Sonucu Doğal Sayı Yapan Çarpanlar

Bir kareköklü ifadeyi, uygun bir çarpan ile çarparak tam kare haline getirebiliriz.

Örnekler:

√3 ile çarpıldığında doğal sayı yapan ifade:
✔ √3 × √3 = √9 = 3
√5 ile çarpıldığında doğal sayı yapan ifade:
✔ √5 × √5 = √25 = 5

Başka bir örnek:

√2 ile hangi sayı çarpılırsa doğal sayı olur?
✔ √2 × √2 = 2

areköklü bir sayının eşleniği, çarpıldığında sonucu tam sayı yapan en küçük sayıdır.

Kesirlerde paydayı rasyonelleştirmek için payda eşleniğiyle çarpılır.

Tek terimli köklü ifadelerin eşleniği kendi köküyle aynıdır.

İki terimli köklü ifadelerde, eşlenik işaretleri ters çevirerek alınır.

7. Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme İşlemleri

Çarpma İşlemi:

Kareköklü sayılar çarpılırken kök içleri çarpılır: Kareköklü iki sayının çarpma işleminde

çarpımı bulmak için kat sayılar

birbirleriyle çarpılarak kat sayıya, kök

içindeki sayılar da aynı kök içinde birbirleriyle

çarpılarak kök içine yazılır.

✔ √a × √b = √(a × b)

Bölme İşlemi: Kareköklü iki sayı bölünürken sayıların

bölümü ortak kök içine yazılabildiği

gibi (payda sıfırdan farklı olmak üzere)

aynı kök içinde bulunan bir kesrin pay

ve paydası ayrı ayrı kökler şeklinde de

yazılabilir.

✔ √a ÷ √b = √(a ÷ b)

8. Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Aynı köklü ifadeler toplanır ve çıkarılır, katsayılar işlem görür.

Kök içleri aynı olan kareköklü sayılar toplanıp çıkarılırken önce katsayılar toplanır ve çıkarılır. Sonra işlem sonucu ortak kareköke katsayı olarak yazılır.

Örnekler:

3√2 + 5√2 = (3+5)√2 = 8√2
7√3 - 2√3 = (7-2)√3 = 5√3

Farklı köklü ifadeler toplanamaz!

√5 + √2 = değişmez
2√7 + 3√2 = değişmez

Ancak kök içleri sadeleştirilebilirse toplama yapılır: Kök içleri aynı olmayan sayılar toplanır

ve çıkarılırken kök içleri eşitlenebiliyorsa önce eşitlenir sonra toplama ve çıkarma işlemleri yapılır.

√50 + √8 = 5√2 + 2√2 = 7√2

9. Kareköklü Sayılarda Sıralama

Ondalık sayıların karekökünü belirlerken tam kare olup olmadığına bakılır.

Örnekler:

√0.25 = 0.5, çünkü 0.5 × 0.5 = 0.25
√1.44 = 1.2, çünkü 1.2 × 1.2 = 1.44
√2.89 = 1.7, çünkü 1.7 × 1.7 = 2.89

Tam kare olmayan ondalık sayılar yaklaşık olarak hesaplanır:

√3 ≈ 1.732
√7 ≈ 2.645