A. ÖZDEŞLİK NEDİR? NE İÇİN KULLANILIR?

a) Özdeşlik Nedir?

Özdeşlikler konusunu incelerken birçok ezberlenmesi gereken formül olduğunu düşünebilirsiniz. Ancak, matematik dünyasında özdeşlikler, en temel yapı taşımız olan dört işlem kadar önemlidir. Dört işlem ne kadar öğrenmemiz gereken bir konuysa, özdeşlikler de o kadar kritiktir. Çünkü özdeşlikler, genellikle sayılar, cebirsel ifadeler ve fonksiyonlar arasında ilişki kurar. Bu bağlantıyı sağlayan özdeşlikler, bize çok adımlı ve karmaşık işlemlerin, denklemlerin çözümünde işlem önceliğinden sonra gelen en büyük yardımcı hali alır.

Tanımını yapmak gerekirse özdeşlikler matematikte her durumda doğru olan eşitliklere verilen isimdir. Bu tür ifadeler, her değerde geçerli olur ve bir anlamda evrensel bir doğruluk taşır. Tanımlamada geçen eşitlik kelimesinden anlaşıldığı gibi özdeşlik kuralları '=' sembolü içerir ancak özdeşlik ve eşitlik aynı şey değillerdir.

b) Özdeşlik ile Eşitlik Arasındaki Fark Nedir?

Özdeşlik formüllerine geçmeden önce, özdeşlik ve eşitlik kavramlarını karşılaştırarak ele almamız önemlidir. Zira özdeşlik ve eşitlik benzer anlamlar taşısa da, aslında tamamen farklı kavramlardır. Her iki durumda da "eşittir" sembolü kullanılır. Ancak özdeşlik söz konusu olduğunda sembolün sol ve sağ tarafı her zaman eşitken, eşitlik durumu yalnızca belirli değerler için geçerlidir.

Özdeşlik Her durumda doğru olan eşitliklerdir, Eşitlik ise sadece bazı durumlarda doğru olabilir. Özdeşlikler tüm değişken değerleri için geçerlidir. Eşitliklerin tersine, bir özdeşlik doğruluğunu kanıtlamak için birden fazla örnek denemeye gerek yoktur; cebirsel manipülasyonlarla her durumda doğru olduğunu gösterebilirsiniz. Eşitlikler, denklemler bazı gerçek sayılar için doğru iken özdeşlikler bütün gerçek sayılar için doğrudur.

c) Özdeşlikleri Ne İçin Kullanırız?

Dört işlemi bir aileye benzetirsek, toplama ve çıkarma işlemlerinin birbirine daha yakın akrabalar olduğunu; çarpma ve bölmenin de kendi içinde bir akrabalık bağı taşıdığını düşünebiliriz. Çünkü toplama işleminin tersi çıkarma, çıkarma işleminin tersi ise toplama işlemidir. Benzer şekilde, çarpma işleminin tersi bölme, bölme işleminin tersi de çarpmadır. Peki özdeşlikler bu işlemlerin neresinde yer alıyor? 

Özdeşliklerin temel işlevi, dört işlem içindeki bu iki akraba grubunun arasında bir ilişki kurmaktır. Yani, karşımıza çıkan bir matematiksel ifade çarpma veya bölme içeriyorsa, aynı ifadeyi toplama ve çıkarma işlemlerinin yer aldığı çok terimli bir yapı haline dönüştürür. Bu dönüşüme ihtiyaç duyarız çünkü karmaşık matematik problemlerini çözerken, karşılaştığımız denklemlerde sadeleştirme yapmak çözüm için gerekli olabilir. Ya da çözüm için elimizde toplama veya çıkarma içeren terimler varsa, bu ifadeyi iki ayrı sayının çarpımı biçiminde yazmak çözümü ararken işimizi hızlandırır ve daha verimli hale getirir. Aynı şekilde, çok büyük sayıların çarpımını bulmamız gerektiğinde de özdeşlik kurallarını kullanarak, toplama veya çıkarmadan oluşan iki veya üç terimli ifadeler elde etmemiz gerekebilir.

Özetleyecek olursak özdeşlikler çarpma işlemi içeren bir ifadeyi toplama işlemi içeren bir ifadeye dönüştürür, ya da bunun tam tersini gerçekleştirir. Başka bir deyişle terimlerden oluşan bir ifadeyi çarpanlardan oluşan ifadeye dönüştürmek ya da çarpanlardan oluşan bir ifadeyi terimlerden oluşan bir ifadeye dönüştürmek için özdeşlik kurallarını kullanırız.

B. ÖZDEŞLİK KURALLARI

a) Toplama ve Çarpma İşlemlerinin Özellikleri

Özdeşlik konusuyla ilgili yaygın olarak bilinen formülleri incelemeden önce, aslında ilkokul düzeyinde bize öğretilen birçok konunun, birçok formülün özdeşlik formülü olduğunu anlatmak isteriz. Örneğin, çarpmanın toplama işlemi üzerine dağılma özelliği, toplama ve çıkarma işlemleri için öğrendiğimiz değişim özelliği de aslında birer özdeşlik kuralıdır.

• Değişme Özelliği:
• Birleşme Özelliği:
• Dağılma Özelliği:

b) Kare İçeren Özdeşlikler

Şimdi 8. sınıf matematik konuları kapsamında öğrenmemiz gereken özdeşlik kurallarını konuşabiliriz. Özdeşlik kurallarını açıklarken, birinci terimi ikinci terim gibi tanımlamalarla ele alacağız. Bu konuyu öğrendikten sonra soruları çözerken bu yaklaşımın büyük faydasını göreceksiniz. Çünkü genellikle karşınıza burada gösterilenlerden farklı cebirsel ifadeler çıkacaktır. Tavsiyemiz, a² ya da a ile b'nin çarpımı gibi tanımlamalar yerine birinci terim ve ikinci terim gibi tanımlamalar yaparak formüllerin açılımlarını öğrenmeye çalışmanızdır.

• Tam Kare Özdeşlikleri:

İki terimin toplamının karesi ve iki terimin farkının karesinin eşitliği üç tane terimden oluşur. Bu terimlerde de tam kare bulunduğu için iki kuralla açıklanan tam kare özdeşlikleri ismini de verebiliriz. Tam Kare özdeşliklerinin açılımını aşağıda görmektesiniz.

* Birinci kuralda iki terimin toplamının karesinin açılımı: “birinci terimin karesi + birinci ve ikinci terimin çarpımının iki katı + ikincinin karesi” şeklinde verilmiştir.

* İkinci kuralda ise iki terimin farkının karesinin açılımı: “birinci terimin karesi - birinci ve ikinci terimin çarpımının iki katı + ikincinin karesi” şeklinde verilmiştir.

İlk başta ezberlenerek öğrenilen bir konu gibi görünse de özdeşliklerin temelinde yatan amacı aklımızın bir köşesinde tutarsak özdeşlikleri uzun vadede öğrenmiş oluruz.

Tam kare özdeşlikleri şeklinde tanıttığımız bu iki formülde, eşitliğin sol tarafında iki terimin toplamı veya farkının karesi olarak adlandırdığımız çarpanlar bulunur. Eşitliğin sağ tarafında ise üç terimden oluşan bir matematiksel ifade yer alır. Çarpanlardan oluşan bir cebirsel ifade, terimlerden oluşan bir cebirsel ifadeye dönüştürülerek özdeşlikler temel amacına ulaşmış olur.

• İki Kare Farkı Özdeşliği:

Bir önceki konuda çarpanlardan oluşan bir ifade, terimlerden oluşan bir ifadeye dönüştürülmüştü. Şimdi ise ters bir durumla karşı karşıyayız; iki terimden oluşan bir ifade, iki çarpandan oluşan bir ifadeye dönüştürülüyor.

Gördüğünüz bu formülde birinci terim ile ikinci terimin kareleri arasındaki fark, bu iki terimin farkı ve toplamının çarpımına eşittir. Özdeşlikleri karmaşık matematik sorularını çözerken bize yardımcı olacak bir araç olarak kullanıyoruz. Ancak iki kare farkı özdeşliği, günlük hayatta karşılaştığımız hesaplamalarda doğrudan kullandığımız bir formüldür.

En yaygın ihtiyaç, genellikle kare alanlarla ilgili hesaplamalar yapmaktır. Kare şeklinde bir mutfağın zemin döşemesine girişmişken ortadaki kare bir tezgahın dışında kalan zemin için gerekli alanı hesapladığımızı düşünelim. Bu özdeşlik, kenarı "a" olan kare şeklindeki bir alanın içinden daha küçük bir kare (kenarı b) çıkarıldığında, kalan bölgenin toplam uzunluk ve genişlik üzerinden hesaplanabileceğini gösterir. Bir diğer örnek olarak, elimizde üçgensel bir bölgenin kenarlarına ait iki büyük sayı olduğunu varsayalım. Eğer Pisagor kuralını uygulamaya ihtiyaç varsa, bu sayıların karelerinin farkını bulmamız gerekir. Bu büyük sayıların karelerini hesaplamaktansa, toplam ve farklarını bulmak daha pratik olacağı için iki kare farkı özdeşliğini kullanırız.

Bu örnekten sonraki başlıklar lise müfredatı kapsamındadır. Lisede karşılaşacağınız için örnek olarak verilmiştir.

• Üçlü Çarpan Özdeşlikleri

c) Küp İçeren Özdeşlikler

• Toplamın Küpü Özdeşliği:

• Farkın Küpü Özdeşliği:

• İki Küp Özdeşlikleri:

d) Karmaşık Özdeşlikler

• Trigonometrik Özdeşlikler:

• Logaritmik Özdeşlikler:

• Üstel Özdeşlikler: